项目简介：  

本项目属于基础科学中的数学研究领域。主要研究内容包括：1. 建立Hamilton系统一般共振情形下的KAM理论，证明了关于动力学基本问题的一个重要猜测；2. 建立广义Hamilton系统不变环面的保持性理论和有效稳定性结果。

研究成果的重要科学价值在于：

1. 著名的KAM理论回答了非共振情形下大多数动力学的基本问题，而对共振情形并不能从中得出什么结论。关于共振情形KAM理论的成果，直接断定了共振情形可积系统的大多数拟周期轨道在小摄动之下仍能保持下来，从而可以作为经典KAM理论的一个补充；2. 对广义Hamilton系统，能否有类似于KAM型结论？有些学者认为是"challenging problem"，具有重要的科学意义。关于广义Hamilton系统不变环面保持性的工作，对这一问题给出了比较完整的回答。上述工作引起一定的反响。著名数学家Sevryuk、Broer、de la Llave和Allgower等认为这些工作是重要的：发现了一类新的(Atropic)不变环面，完善了不变环面的分类；在共振环面的保持性理论方面获得的结果对共振情形的动力学基本问题给出了完整的刻画，等等。他们在一些重要学术杂志、专著以及评论中对上述工作给予了很高的评价，他们对上述工作的评价中使用了"complete picture"，"landmark paper"，"verify a conjecture"，"substantial papers"，"important paper"，"the most important"， "essential"，"key contributation"，"first observed"，"new and pormising branch"等词语。项目组成员发表论文50余篇，1999年以来10篇代表性论文他人引用36次，SCI他人引用18次。这些工作多次被项目组成员及其合作者在重要国际学术会议，如有百年历史的EQUADIFF(2003)，上做大会报告。先后承担了包括国家973计划、国家杰出青年科学基金、海外青年学者合作研究基金、国家自然科学基金重点项目、国家自然科学基金和教育部跨世纪优秀人才资助计划等在内的多项科研项目。

主要发现点：

1. 对共振情形的动力学基本问题给出了肯定的回答，解决了这一研究领域的一个重要猜测，证明了在通常的非退化条件下，可积系统的各种类型(尤其是椭圆和混合型)的共振环面大多数在小摄动之下保持下来(微分动力系统，支持该发现点的代表性论文是[1]，[2]，[7])；

2. 建立了广义Hamilton系统不变环面的保持性理论，对具有退化性(包括奇数维)Poisson结构的广义Hamilton系统给出了KAM型结果(微分动力系统，支持该发现点的代表性论文是[3]，[4]，[9]，[10])

3. 找到了一种新的不变环面，被国外学者命名为"atropic invariant tori"。这一结果被认为是过去10多年KAM理论研究中最重要，同时也是很少理解的结果(微分动力系统，支持该发现点的代表性论文是[3])；

4. 首次给出了广义Hamilton系统的有效稳定性结果，拓广了有效稳定性理论的应用范围(微分动力系统；非线性常微分方程，支持该发现点的代表性论文是[8])；

5. 建立拟线性或修正的KAM迭代格式，以克服微分结构的变化以及作用-角变量的个数的不同所带来的复杂性，使得KAM迭代方法能适合具有一般法形结构的系统；提出了部分频率比保持的概念(微分动力系统，支持该发现点的代表性论文是[2]，[5]，[9])；

6. 给出了Poincaré-Birkhoff扭转定理的构造性证明，为求二维哈密顿系统的周期解提供了大范围收敛性方法(非线性常微分方程，支持该发现点的代表性论文是[6])。

主要完成人：

1.  李勇

作为本项目总负责人，全面负责本项目研究的总体学术思想的构想和关键技术的设计，组织研究方案的拟订和研究工作的全面展开。

对本项目的发现点1、2、3、4、5、6做出重要的贡献。

投入该项目的科研工作量占自己总工作量的80%。

支持本人贡献的论文是10篇代表性论文。

2.  从福仲

本人对项目的第1、2、3、4发现点做出贡献。

投入该项目的科研工作量占自己总工作量的80%。

支持本人贡献的论文是10篇代表性论文中的[1]、[3]、[8]。

3.  史少云

本人对项目的第1发现点做出贡献。

投入该项目的科研工作量占自己总工作量的80%。

支持本人贡献的论文是10篇代表性论文中的[7]。

4.  黄庆道

本人对项目的第3发现点做出贡献。

投入该项目的科研工作量占自己总工作量的80%。

支持本人贡献的论文是10篇代表性论文中的[3]。

10篇代表性论文：

1.   KAM-type theorem on resonant surfaces for nearly integrable Hamiltonian systems /J. Nonlinear Sci.

2.   A quasiperiodic Poincaré theorem / Math. Ann.

3.   Persistence of hyperbolic invariant tori for Hamiltonian systems / J. Differential Equations

4.   Persistence of invariant tori for generalized Hamiltonian systems / Ergod. Th & Dyn. Sys.

5.   Persistence of invariant tori on submanifolds in Hamiltonian systems / J. Nonlinear Sci.

6.   A constructive proof of the Poincaré-Birkhoff theorem / Trans. Amer. Math. Soc.

7.   Partial integrability for general nonlinear systems / Z. Angew. Math. Phys.

8.   Effective stability for generalized Hamiltonian systems/Science in China Ser. A Mathematics

9.   Persistence of lower dimensional tori of general types in Hamiltonian systems / Trans. Amer. Math. Soc.

10.  Persistence of hyperbolic tori in Hamiltonian systems / J. Differential Equations