项目名称：    分布参数控制理论的几何方法及相关问题

推荐单位：    中国科学院

项目简介：    本项目研究的是分布参数系统控制理论. 针对有着明确工程背景的振动系统, 逐个进行控制理论分析. 一维问题有: 弦振动问题(吊桥铁索), 梁振动问题(细长飞行器); 高维问题有: 波动问题(声波), 板振动问题(大型太阳能帆板), 薄壳问题(潜水艇). 本项研究的主要目的是对工程控制噪音, 消除振动提供理论依据和理论指导.

在1986年之前, 分布参数控制理论界在假定材料是均匀的条件下,对波动问题和板振动问题建立了边界控制及内部控制理论. 该理论的主要内容是说, 只要材料是均匀的, 人们总可以在边界或内部施加控制来控制波和薄板振动系统. 这方面的代表人物有前法国科学院院长 J. L. Lions 和曾是著名杂志SIAM J. Control. Optim. 主编的 E. Lagnese 等. 当材料是非均匀时(密度和厚度非常数), 由于原有方法失效, 这些问题的研究在理论上十分困难. 1988年, J. L. Lions 在SIAM Reviews 将这一问题提作公开问题.

姚鹏飞1999年工作(SIAM,1999) 引入全新的工具--黎曼几何理论, 建立了非均匀材料(变系数)波问题的控制理论分析, 回答了Lions问题. 随后, 几何方法的扩展使得一系列控制界所关注的问题获得解决, 如非均匀材料(变系数)板的控制问题等. 特别是姚鹏飞2000年的工作(SIAM,2000), 用黎曼几何中著名的Bochner技巧, 开创了薄壳控制问题的研究.

姚鹏飞引入的几何方法, 已经形成了一个在分布参数系统控制理论方面的新的研究方向, 得到了国际同行一系列高度评价. 特别地，该几何方法已经被国际同行，如美国，法国，意大利，保家利亚等国的同行广泛用于若干分布参数系统控制理论的研究中。姚鹏飞和他的合作者在这个方向上的工作，被SCI他人用引78次，其中10篇代表论文SCI他人引用54次。

主要发现点：  1. 发现了解决等密度材料控制理论所用HUM方法其实是仅适用于"点度量"情形，第一次引入黎曼几何理论建立了变密度材料波动问题的控制理论，彻底解决了前法国科学院院长J. L. Lions 的公开问题（控制理论，代表论文1）；

2. 第一次引入黎曼几何理论来研究薄壳的控制问题，建立了具有任意形状中面浅壳的数学模型和第一次获得了边界精确可控性结果（控制理论，代表论文2）。

主要完成人：  1.   姚鹏飞

独立完成下述发现点：

1. 发现了解决等密度材料控制理论所用HUM方法其实是仅适用于"点度量"情形，第一次引入黎曼几何理论建立了变密度材料波动问题的控制理论，彻底解决了前法国科学院院长J. L. Lions 的公开问题（控制理论, 代表论文1）；

2. 第一次引入黎曼几何理论来研究薄壳的控制问题，建立了具有任意形状中面浅壳的数学模型和第一次获得了边界精确可控性结果（控制理论，代表论文2）。

本项目的工作约占完成人整个科研工作的85%。

10篇代表性论文：  1.   On the observability inequalities for the exact controllability of wave equations with variablecoefficients/SIAM Journal onControl and Optimization

2.   Observability inequalities for Shallow shells/ SIAM Journal on Control and Optimization

3.   Observability inequalities for theEuler-Bernoulli plate with variableCoefficients/Contempoary Mathematics

4.   On the inversion of the Laplace Transform of C0 semigroups and itsApplications/SIAM Journal on Mathematical Analysis

5.   A characteristic condition for theExponential stability of semigroups/CHISNESE SCIENCE BULLETIN

6.   Inverse observability estimates forSecond-order hyperbolic equations With variable coefficients/Journal of Mathematical Analysis andApplications

7.   Observability inequalities forThein shells/SCIENCE CHAIN

8.   Boundary feedback stabilization ofShallow shells/ SIAM Journal on Control and Optimization

9.   Stabilization of elastic plates With variable coefficients andDynamical boundary control/Quarterly of Applied Mathematics

10.  Structure for nonnegative squareOf roots of unbounded nonnegativeSelfadjoint operators/Quarterly of Applied Mathematics