项目名称： 无限维控制系统的结构理论

推荐单位： 中国科学院

项目简介： 本项目属数学控制论领域。许多数学家如J.M. Bismut、A. Friedman、J.L. Lions、P.L. Lions和L.S. Pontryagin等曾在该领域作出过重要工作。本项目用统一的思想、观点和方法研究无限维系统的能控性、能观性、长时间行为以及与之密切相关的偏微分方程的整体唯一延拓性质等，尤其是领域中某些长期悬凝的基本问题。

工作被4部专著、1本研究生教材和8篇关于领域进展的重要综述报告（包括ICM大会报告和特邀报告各1个）他引，总他引222次，SCI总他引94次。引用者包括A.L. Bukhgeim、P. Cannarsa、J.M. Coron、E. Fernández-Cara、R. Illner、O.Yu. Imanuvilov、V. Isakov、I. Lasiecka（IEEE Fellow）、G. Lebeau（法国科学院院士）、T. T. Li、S. Micu、L. Pandolfi、A. Quarteroni（意大利国家科学院院士）、J.-P. Raymond、M. Renardy、J.J. Telega、E. Trélat、R. Triggiani、G. Uhlmann、M. Yamamoto和E. Zuazua等21位现任或曾任国际重要期刊的主编或编委，其中A. Quarteroni系ICM大会报告人，J.M. Coron、O.Yu. Imanuvilov、G. Lebeau、G. Uhlmann和E. Zuazua等5位系ICM特邀报告人。引用期刊包括SIAM Rev.、Arch. Ration. Mech. Anal.、Proc. R. Soc. Lond. A等。

O.Yu. Imanuvilov等国际同行的公开评价是"the strongest result"、"significant contribution"、"important contribution"、"important paper"、"very interesting decay results"、"an extensive and interesting discussion"、"The paper is very interesting"、"The main novelty of the paper is…"、"a very good and important survey"以及"a very extensive and interesting paper"等。张旭任SIAM J. Control Optim.和ESAIM Control Optim. Calc. Var.等4份国际期刊编委；先后10次在国际学术会议上作大会或特邀报告；曾独立获教育部自然科学一等奖等。

主要发现点： 核心发现点：

1、给出了一套基于"主型微分算子的逐点估计+整体Carleman型估计+通常能量估计"的关于偏微分方程能观性估计的新方法，并得到其在无限维系统的能控性、反问题、以及分析系统的长时间行为等方面的诸多应用。该方法与前人工作的区别，一是不依赖于任何已知的的唯一延拓性质，二是可以给出能观性常数的显式估计，三是不需要紧性，四是不依赖于方程的类型和特征等，从而可以解决领域中某些长期悬凝的基本问题，克服学科发展的某些障碍。（该工作被E. Zuazua的ICM2006特邀报告引用）。(学科：数理偏微分方程、控制论。代表性论著：[1]，[2])；

其它重要发现点：

2、在一定程度和意义下建立了抛物型和双曲型方程统一的能控性理论，是该问题自1973年被领域创始人之一D.L. Russell提出以来仅有的进展。发现原先各自独立发展的抛物型和双曲型方程的能控性理论之间的有机联系，即证明了对精确能控的双曲型方程的奇异摄动问题取极限即得到某个抛物型方程的能控性，且抛物型方程的能控性结果都可以由某个双曲型方程的能控性推出。尤其是发现可从同一个关于"类抛物"微分算子的恒等式出发给出这两类性质完全不同的方程能控性问题的统一处理。(学科：控制论、数理偏微分方程。代表性论著：[3]，[4])；

3、发现一类偏微分方程整体唯一延拓性质的奇异现象，即其解唯一与否依赖于其低阶项系数的零点的位置，说明研究偏微分方程的整体唯一延拓性质有其独立的意义。对一些具非光滑系数的偏微分方程给出了整体唯一延拓性质和能观性估计的统一方法及其在控制论中的应用，部分解决了L. Hormander的一个猜测。(学科：数理偏微分方程、控制论。代表性论著：[5]，[6]，[9])；

4、发现一类描写水下机器人及心血管运动等模型的双曲抛物耦合组的控制和观测等问题与经典情形有本质差别，并给出了一套在分析有关现象中需要的关于指数和的Ingham型不等式的新方法，即基于某个偏微分方程的能观性估计（与文献中常见的基于函数论或解析数论的方法不同）。（该工作被A. Quarteroni的ICM2006大会报告引用）。(学科：数理偏微分方程、控制论。代表性论著：[7])；

5、用统一的方法给出了在任何空间维数下，关于非线性函数可能超线性增长时半线性波动方程和半线性板方程的整体精确能控性结果。就这些非线性方程而言，对J.L. Lions在"SIAM Rev., 30（1988）, 1-68"中提出的（并明确指出是）两个最重要的问题之一给出了解答。(学科：控制论、数理偏微分方程。代表性论著：[8]，[10])。

主要完成人： 张旭

独立完成发现点1（它是本项目其它工作的基础和主要工具）；在发现点2中，给出了对证明精确能控的双曲型方程的奇异摄动问题的极限即某个零能控的抛物型方程起关键作用的能观性常数的估计，其余部分系独立完成；在发现点3中，对发现偏微分方程整体唯一延拓性质的奇异现象起关键作用。对该发现点的其余部分，从问题的提出到重要技术突破都有主要贡献；在发现点4中，给出了在分析一类双曲抛物耦合组的控制和观测等问题的新现象中至为重要的关于指数和的Ingham型不等式的新方法；独立完成发现点5。在该项研究中的工作量占本人工作量的88％。系代表作[1][2][3][8][10]唯一作者，[5][6][7][9]主要学术思想的提出者，在[4]中作出最关键的技术突破。