当轴心受压时,有 ,再将方程(2)两边同时除以 ,展开后则方程(2)成为
![](/Article/UploadFiles/200706/20070604094122398.gif)
(3)
这就是L形钢异型柱在轴心受压情况下的稳定方程,它是关于压力P的一元三次方程。我们将根据一元三次方程根的性质,求解它的根。
2 换算长细比
由文献[1]我们知道,方程(3)是齐次方程(4)的特征方程。
(4)
将方程(4)写成如下形式:
![](/Article/UploadFiles/200706/20070604094342548.gif)
令: ![](/Article/UploadFiles/200706/20070604094528298.gif)
得: (5)
因为 为对角阵,且各主元素都大于零,而 ,所以矩阵 、 的各阶顺序主子式的行列式均大于零,且矩阵 、 均为实对称矩阵,根据线性代数有关定理可知 、 均为正定矩阵,L形钢异形柱轴心受压承载力是正定系统。类比机械振动理论 问题,其中 为系统的刚度矩阵, 为系统的质量矩阵, 、 都为正定矩阵,则由 解出的 个 的值,即 、 矩阵对的广义特征值均为正实数,且互不相等。由此得出,本文方程 的根是 、 矩阵对的广义特征值 ,展开后一元三次方程(3)的根是三个正的互不相等的实数。求解如下。
令: ![](/Article/UploadFiles/200706/20070604100211930.gif)
(6)
于是方程(3)就可以简写为:
(7)
再令 ,方程(7)就可以表示为:
(8)
令: ![](/Article/UploadFiles/200706/20070604100500732.gif)
所以,方程(8)就可以表示为: (9)
根据本文所研究的问题,可以证明
(10)
(11)
由此,我们利用卡丹公式的根的三角函数表达形式,就可以得出一元三次方程(9)的三个根 、 、 为:
![](/Article/UploadFiles/200706/20070604101108174.gif) (12)
式中: (13)
所以,一元三次方程(3)的三个根 、 、 为:
(14)
由于 、 、 为三个互不相等的正实根,因此,L形钢异形柱在轴心受压情况下的临界力的理论解为: 。下面比较 、 、 三个力的大小:
通过分析可知: ,![](/Article/UploadFiles/200706/20070604101841248.gif) , ![](/Article/UploadFiles/200706/20070604102046988.gif)
, , ,
![](/Article/UploadFiles/200706/20070604102245219.gif)
![](/Article/UploadFiles/200706/20070604102805307.gif) 、 且![](/Article/UploadFiles/200706/20070604102908953.gif)
![](/Article/UploadFiles/200706/20070604102928664.gif) ![](/Article/UploadFiles/200706/20070604102942903.gif) 且 又![](/Article/UploadFiles/200706/20070604103055109.gif) ![](/Article/UploadFiles/200706/20070604103108184.gif)
即![](/Article/UploadFiles/200706/20070604103144766.gif) ![](/Article/UploadFiles/200706/20070604103201709.gif)
即L形钢异形柱在轴心受压情况下的稳定临界力的理论解为:
(15)
若定义: (16)
式中 为柱换算长细比,结合(15)式,并将(6)、(13)等参数代入,再 令
![](/Article/UploadFiles/200706/20070604103706241.gif)
![](/Article/UploadFiles/200706/20070604103732664.gif)
![](/Article/UploadFiles/200706/20070604103750769.gif)
![](/Article/UploadFiles/200706/20070604103804485.gif)
(17)
则得: (18)
这就是L形截面柱换算长细比。
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