项目简介： 上世纪八十年代以后，拓扑学的重心转到低维流形拓扑，特别是四维流形的拓扑等。同时，正曲率黎曼流形与代数族的拓扑一直是拓扑学与几何学中重要的交叉研究课题。本项目正是从事在这些领域的研究并取得了以下主要成果：

1、1944年，美国科学院院士Whitney证明: "任何维数n>4的可定向闭流形可以嵌入到 (2n-1) 维欧氏空间"。1963年，Haefliger和Hirsch合作，推广了Whitney定理，证明了"若n>4, 则一个n维光滑的闭流形M可以嵌入到(2n-1)维欧氏空间中的充要条件是M的第(n-1)个法Stiefel-Whitney类为零"。一个长期以来悬而未决的问题是：Whitney定理和Haefliger-Hirsch定理在四维是否成立？该问题曾先后被美国科学院院士Kirby、嵌入理论国际领袖人物Haefliger作为公开问题提出。方复全完全解决了这一问题，发表在拓扑学最好的杂志《Topology》（1994、2002）。

2、与戎小春合作，证明了"2-连通正夹曲率流形" 的有限性定理，同时部分解决了Klingenberg-Sakai猜想和丘成桐猜想。论文发表在《Invent.Math.》。该工作被法国科学院院士、美国科学院院士Gromov在其专著中引用、被法国科学院通讯院士Berger在其综述报告"二十世纪后半叶的黎曼几何"中引用；也是合作者戎小春在2002年"国际数学家大会"上45分钟报告的主要部分。

3、在国际上首次将Seiberg-Witten不变量与群作用联系起来，证明了"Seiberg-Witten不变量的模p消灭定理"。审稿人称"该成果是一项重要工作"。该成果被Furuta在2002年国际数学家大会45分钟报告中引用。

4、完全解决了Libgober-Wood猜想。

5、将四维流形光滑结构与三维流形嵌入问题联系起来，研究成果被Gompf写入美国数学会研究生教材中。

主要发现点：

1、引入Surgery理论与配边理论方法，完全解决了"四维流形到七维欧氏空间中的嵌入问题"，填补了Whiteney嵌入理论（于1944年奠定）在四维情形的空白, 回答了这一有五十多年历史的遗留问题。该问题曾被美国科学院院士Kirby、嵌入理论国际领袖人物Haefliger作为公开问题提出（所属学科分类：几何拓扑学；代表论文[1][2][3]）。

2、与戎小春合作，证明了"对每个正数a，仅有有限多个2-连通的、夹曲率（即曲率K界于区间（a，1））的n维黎曼流形的拓扑同胚型"；并且"其单射半径有一致的正下界"。对于2-连通的流形同时解决了Klingenberg-Sakai猜想和丘成桐的关于夹曲率黎曼流形的单射半径猜想（所属学科分类：微分几何学、几何拓扑学；代表论文[8][10]）。

3、在国际上首次将Seiberg-Witten不变量与群作用联系起来，并给出Seiberg-Witten不变量的一个拓扑K-理论的解释，由此证明了"Seiberg-Witten不变量的模p消灭定理"，成为他人工作的基础（所属学科分类：几何拓扑学；代表论文[4]）。

4、与人合作，将代数拓扑中深刻的Adams谱序列理论应用于配边群的计算，发展了经典的Surgery理论，在国际上首次给出"复维数不超过4的完全交的拓扑分类"。其後，应用Sullivan示性簇理论，独立地基本解决了任意维数完全交的拓扑分类问题，特别地，完全解决了Libgober-Wood猜想。这为德国数学家Bruckmann有关完全交模空间的研究奠定了基础，也为Astey等人的后续工作奠定了基础（所属学科分类：几何拓扑学；代表论文[6][7]）。

5、法国科学院院士、美国科学院院士Gromov(1981)证明："截面曲率>a，直径 6、将四维流形的光滑结构问题与三维流形的嵌入问题联系起来，证明了一大类非紧四维流形上存在有不可数多个光滑结构，推广了菲尔兹奖获得者Freedman在1979年的定理"S3xR上有无限多个光滑结构" （所属学科分类：几何拓扑学；代表论文[5]）。

主要完成人： 方复全

发现点（1）（3）（6）由申请人独立完成；发现点（2）（5）由申请人和戎小春合作完成，申请人在其中承担与拓扑相关的主要内容以及有关黎曼几何的部分内容，发现点（4）由两部分组成，其中前一部分由申请人与S.Klaus合作完成，申请人承担其中几何拓扑方面的工作；后一部分由申请人单独完成。申请人在本项目中投入的工作量占全部工作量的90%以上。代表文章[1]至[10]全部是支持申请人贡献的论文。

主要完成单位： 

10篇代表性论文： Embedding four manifolds in R7, Topology, 第33卷

Embeddings of nonorientable 4-manifolds into R6，Topology, 第35卷

Orientable 4-manifolds topologically embed in R7　Topology, 第41卷

Smooth group actions on 4-manifolds and Seiberg-Witten invariants，Inter.J. Math., 第9卷

Smooth structures on ΣxR,Topo. & Appl., 第99卷

Topological classification of four dimensional complete intersections, Manuscript. Math , 第90卷

Topology of complete intersections，Comment. Math. Helv, 第72卷

Positive pinching, Volume and Second Betti Numbers，Geom. Func. Anal., 第9卷

Curvature, diameter, rational homotopy type and cohomology rings, Duke Math. J. 第107卷

Second twisted Betti numbers and the convergence of collapsing Riemannian manifolds，Invent. Math. 第150卷