项目简介：

本项目为数学研究,具体对象为算子代数,根据Dirac和Neumann在物理微观世界里的可观察物,可由希尔伯特空间中的算子作为模型,这种算子系统构成C*-代数.类似于Heisenberg的不确定原则,一般来讲C*-代数中有ab≠ba,即C*-代数一般不交换.正是由于其非交换性,使C*-代数在微分几何.拓扑学.动力系统.非交换几何.数学物理等学科中有广泛的应用.本研究项目的主要内容是寻求一种简单且可计算的不变量来确定C*-代数的结构,这是C*-代数长期以来研究的中心问题.

本项目最重要的成果可以简单地概括成:(i)二个可分单核零迹秩的C*-代数同构的充分必要条件为它们所对应的有序K-群(保幺元)同构.(ii)任何这样的C*-代数所对应的有序K-群都是可数的弱无孔的单Riesz有序群.(iii)给定任何一个可数的弱无孔的单Riesz 群 一定有一个这样的C*-代数使其对应的K-群正好就是它.

本项目成果的特点是其分类定理具有一般性并且提供了应用方法,大大推进了C*-代数理论及其应用的发展.主要发现点为:1首次提出了C*-代数上迹秩的概念.当迹秩为零时,C*-代数传统的实秩与稳定秩同时为最小,且低迹秩C*-代数具有特殊的结构使其包含了通常的稳定有限单核C*-代数;2发现了C*-代数的近似可乘映照的唯一性定理,用KK-理论在稳定近似酉等价的意义下完全确定了C*-代数间的近似可乘映照;3创建了零迹秩单核C*-代数的同构分类理论;4解决了Von Neumann-Halmos 几乎交换自共轭矩阵问题.

本项目的主要定理在世界上最权威的Annual of Mathematics和Duke Mathematical J.上发表.本项目所发表的60篇论文和专著共被他引305次.数学评论员文章(Math. Review, Amer. Math. Soc.,MR1973053) (2004b:6089)描述道:"在这篇闪光的论文中,评论员惊奇地发现林完成了令人眩目的广泛的分类定理....""关键概念始终是林发明的迹秩零....",林多次应邀在国际会议上作报告:(98)欧盟算子代数大会上作主讲,(99,02, 05)三次被邀在北美最重要的算子年会(GPOTS)作主讲.组织了02年数学家大会算子代数会议.

主要发现点： 本项目主要发现点为:

1.首次提出了C*-代数上迹秩的概念,从而可用迹秩来进一步认识和区分C*代数的结构. (对应学科:算子代数,论文序号:2,4,6,8)

通过长期实验后在C*-代数中引进了迹秩 (tracial rank) 的概念并建立了有关迹秩的一系列基本结果。本项目发明的迹秩的概念用的与C*-代数上的迹态有关的弱逼近, 是一种在交换时类似概率意义下的秩逼近.这一创新达到了三个方面的效果:1)对C*-代数的要求较低,2)理论上容易验证C*-代数的迹秩值,3）当C*-代数交换时，迹秩与通常的紧空间的覆盖维数吻合.当迹秩为零时,C*-代数传统的实秩与稳定秩同时为最小. 低迹秩的C*-代数具有特殊的结构使其包含了通常的稳定有限单C*-代数.

2.发现了C*-代数的近似可乘映照的唯一性定理, 从而可用KK-理论确定C*-代数间的映照. (对应学科:算子代数,论文序号:5,6,7,9)

发现用KK-理论在稳定近似酉等价的意义下可以完全确定了C*-代数间的近似可乘映照. 其中的一个特例可叙述如下:

设A和B为二个可分的具有单位元的核C*-代数,φ，ψ：A→B为二个同态,则φ与ψ近似稳定酉等价的充要条件为：φ与ψ引出相同的KL-元.

3.创建了零迹秩单核C*-代数的同构分类理论.(对应学科:算子代数,论文序号:1,2,3,5)

其中最重要的成果可以简单地叙述为:

（i）二个可分单核零迹秩的C*-代数同构的充分必要条件为它们所对应的有序K-群（保幺元）同构.

（ii）任何这样的C*-代数所对应的有序K-群都是弱无孔的单Riesz有序群.

（iii）给定任何一个弱无孔的单Riesz 群 一定有一个这样的C*-代数使其对应的K-群正好就是它.

4.解决了Von Neumann-Halmos关于几乎交换的自共轭矩阵是否被交换的自共轭矩阵逼近的问题. (对应学科:算子代数,论文序号:10,55,24)

这是一个长期悬而末决的关于矩阵的问题.数十年来许多数学家, 包括Von Neumann 本人, R.Kadison, P. Halmos, C. Pearcy, A. Shields, I. Berg, D. Voiculescu, K. Davidson 等都对这个著名问题作过研究.项目完成人用本项目的关于C*-代数分类理论的方法解决了此问题,证明了一对几乎交换的自共轭矩阵是一定可以被一对交换的自共轭矩阵逼近.

主要完成人： 1.   林华新

本项目由林华新教授独立完成。该项研究占项目完成人工作量约60%。

10篇代表性论文：

1.   Classification of simple $C\sp *$-algebras of tracial topological rank zero./ Duke Math Journal

2.   An introduction to the classification of amenable $C\sp *$-algebras./ 专著(World Scientific)

3.   Classification of simple $C\sp *$-algebras and higher dimensional noncommutative tori. / Ann. of Math

4.   The tracial topological rank of $C\sp *$-algebras./ Proc. London Math. Soc.

5.   Classification of simple tracially AF $C\sp *$-algebras./ Canad. J. Math

6.   Tracially AF $C\sp *$-algebras./ Trans. Amer. Math. Soc.

7.   Simple $C\sp *$-algebras with continuous scales and simple corona algebras./ Proc. Amer. Math. Soc

8.   Exponential rank of $C\sp *$-algebras with real rank zero and the Brown-Pedersen conjectures./ J. Funct. Anal.

9.   Injective Hilbert $C\sp *$-modules./ Pacific J. Math

10.  Generalized Weyl-von Neumann theorems./ Internat. J. Math.