项目简介：  

本项目属群表示论、李群和李代数领域。在这些领域中，卡兹但－路兹梯格（Kazhdan-Lusztig）理论极其重要。它导致了很多重要问题的解决，又开创了很多意义重大的研究方向。本项目系统研究了卡兹但－路兹梯格理论中的一些基本和重要的问题：路兹梯格关于仿射外尔群的双边胞腔的基环的猜想，德林那－郎兰之（Deligne-Langlands）关于仿射赫克代数的猜想，双边胞腔的性质，卡兹但－路兹梯格多项式的性质等。

本项目主要的成果有：

（１） 对仿射A型外尔群证明了路兹梯格关于双边胞腔的基环的猜想。此工作被美国数学会以专著形式发表：《An-1型仿射外尔群的双边胞腔的基环》, Mem. Amer. Math. Soc., No. 749, 2002。路兹梯格在个人网页中提到这项工作，其网页仅提到二十项他人（很多是世界一流数学家如Arnold， Atiyah，Bott，Gromov，Hirzebruch，Lawson，Taubes 等）有关的重要工作。世界一流数学家本兹茹卡夫尼口夫（MIT）、中岛（京都大学）等人后来重新证明了这一结果。麦克格提用此结果推出量子群的结果。格林称此结果用表代数的语言陈述是高度非凡的（highly nontrivial）。奥伯特等他人用此结果研究其它的问题。

（２）证明了除有限个例外，德林那－郎兰之关于仿射赫克代数的猜想对单位根的情形成立，并证明了对某些单位根，该猜想需修改。 此工作由德国Springer-Verlag以专著形式发表：《仿射赫克代数的表示》，Lecture Notes in Mathematics 1587, 1994。非单位根的情形，该猜想由世界一流数学家卡兹但（哈佛）和路兹梯格（MIT）证明。专著引发了后继研究，并被一些有影响的工作引用。

（３）与路兹梯格合作证明了仿射外尔群的每个双边胞腔含有唯一的典范左胞腔（Adv. in Math）。

此发现成为以后很多工作的基础之一，在代数群、量子群和李代数中均有深入的应用。

本项目的主要工作形成两篇长论文，分别由德国Springer-Verlag和美国数学会以专著形式发表，另发表论文八篇。SCI他引39次。

主要发现点：

一、 对仿射A型Weyl群证明了Lusztig关于双边胞腔的基环的猜想。此外，对如下情形，证明了Lusztig关于双边胞腔的基环的猜想，（a）秩２的仿射Weyl群，（b）仿射Weyl群的第二高的双边胞腔，（c）仿射Weyl群的最低双边胞腔。

仿射Weyl群的双边胞腔的基环的定义是组合式的。 Lusztig猜想（1989）：这个基环同构于某些等变K群。这是一个重要的猜想。它揭示了胞腔、Kazhdan-Lusztig基、代数群的结构和表示、K理论之间的深刻联系。席南华因上述工作于2001年获世界华人晨兴数学银奖。

本发现所属学科：群表示论和李群。相关专著和论文的序号：1（专著）、2（专著)、6。

二、 证明了：当参数为单位根且阶大于相应的Weyl群的最大指数加一时，Deligne-Langlands关于仿射Hecke代数的不可约表示的分类的猜想成立；当参数是相应的庞加莱多项式的根时，该猜想需修改。

此猜想源于p-adic群的表示，后者在Langlands纲领中起着突出的作用。 (Deligne获菲尔兹奖，Langlands获沃尔夫奖。)。当参数为非单位根时，该猜想由世界一流数学家Kazhdan（原哈佛教授，美国科学院院士）和Lusztig （MIT教授，美国科学院院士）证明(Invent. Math. 1987)。由此引起人们对单位根处情形的极大兴趣。单位根处的仿射Hecke代数还与单位根处的量子群有密切联系。　　　　

本发现所属学科：群表示论、李群和李代数。相关专著和论文的序号：2（专著）、7。

(另外，席南华现已证明：当参数不是相应的庞加莱多项式的根时，Deligne-Langlands猜想成立。至此，该问题得到圆满解决。相关论文发表于美国数学会最好的杂志：Jour. Amer. Math. Soc. 20 (2007), 211-217。）

三、与Lusztig合作证明了仿射Weyl群的每个双边胞腔含有唯一的典范左胞腔。

典范左胞腔具有许多独特的性质。这个发现成为以后很多工作的基础之一，如Lusztig关于典范左胞腔的基环的猜想和Bezrukavnikov对此猜想的证明，Humphreys把它与李代数的表示联系起来，典范左胞腔还被V. Ostrik用于研究量子群的倾斜模范畴。

　本发现所属学科：群表示论。相关论文的序号：3。

主要完成人：

1.  席南华

独立完成主要发现点一和二，主要发现点三的主要完成人之一。在该项研究中的工作量占本人工作量的85％。

10篇代表性论文：

1.   The based ring of two-sided cells of affine Weyl groups of type ? n-1, / Mem. of Amer. Math. Soc. （专著）

2.   Representations of affine Hecke algebras, Lecture Notes in Mathematics 1587（专著）, Springer-Verlag

3.   Canonical left cells in affine Weyl groups (with G. Lusztig) / Adv. in Math.

4.   An approach to the connectedness of the left cells in affine Weyl groups, / Bull. London Math. Soc.

5.   Induced cells / Proc. of Amer. Math. Soc.

6.   The based ring of the lowest two-sided cell of an affine Weyl group, / J. Alg.

7.   The based ring of the lowest two-sided cell of an affine Weyl group, II / Ann. Sci. Ec. Norm. Sup.

8.   A partition of the Springer fibers BN for type An-1, G2 and some applications, Indag. Mathem., N.S.

9.   On the characterization of the set D1 of the affine Weyl group of type ?n-1, / In "Representation theory of algebraic groups and quantum groups", Adv. Stud. Pure Math., 40, Math. Soc. Japan, Tokyo

10.  The leading coefficient of certain Kazhdan-Lusztig polynomials of the permutation group Sn / J. Algebra