项目简介：  

本项目是代数表示论、无限维李代数和量子群的交叉研究项目，它与群表示论、代数几何及数学物理等紧密联系。代数表示论是当今代数学研究的重要方向，quiver表示成为众多核心数学分支的重要工具。利用代数表示论的成果和代数几何方法，从quiver表示角度来考察李代数、量子群等相关问题，深入到了当今数学发展的前沿。

作为理论的一个发展，量子群的内涵非常丰富和深刻，不仅包含了半单李群、李代数的经典内容，同时，也包含了Kac-Moody李代数等许多现代数学的发展。Ringel由quiver表示导出的Hall代数为量子群的正部分提供了一个精确模型，在此基础上，Lusztig和Nakajima等人利用代数几何和微分几何等方法把量子群定义在quiver variety的Perverse sheaf上，获得了巨大成功。Hall代数方法与三角范畴、导出范畴的结合，是当前国际代数与几何表示论研究的重要内容。一方面，它可以得到Kac-Moody李代数及其量子包络代数的精确实现；另一方面，沟通了凝聚层范畴和K.Saito的扩大仿射根系与椭圆李代数的深入联系。

获得的进展包括：1.在三角范畴上发现了一种内蕴对称，这种对称给出了一个无限维李代数结构，在导出范畴上成功地实现了一切可对称化Kac-Moody李代数的结构。2.由tubular代数表示的导出范畴精确实现了K.Saito的椭圆李代数的整体构造、结构常数和Chevalley整形式。发现了代数表示论与几何奇点理论在李代数架构下的精确联系，并完整回答了I.Frenkel的一个公开问题。3.对double Ringel-Hall代数做出了系统彻底的研究，包括BGP反射函子导出辫子群对量子群的作用，Double Ringel-Hall代数作为广义Kac-Moody李代数的量子包络代数的实现模型，给出quiver表示的Kac定理的一个全新证明，发现Ringel-Hall代数和Kac猜想的深刻联系。本项目的成果在国际上有极大影响：十篇代表论文在SCI网络版中被引用60次，其中他引27次；在四届国际代数表示论大会上做一小时特邀报告；成果入选AMS的Featured Review等。

主要发现点： 

（1） 由三角范畴和导出范畴实现整体量子群和李代数，是由论文[7]的工作开始的，现在已成为国际研究的一个前沿。Ringel的Hall代数方法、Lusztig的Perverse Sheaf方法，都是量子群或李代数正部分的实现，所以，寻找量子群和李代数的整体实现是一个长期公开难题。论文[1]就是在三角范畴上整体实现了Kac-Moody李代数。本发现点属于学科分类1和2，对应十篇代表论文中的[1]和[7]。

（2）只有在仿射型时，顶点算子代数作为精确模型，一般型的Kac-Moody李代数没有实现模型。Kac提出：给出一般型的Kac-Moody李代数的实现模型是整个理论中的最基本的公开问题。论文[1]在三角范畴水平上精确实现了可对称化的一般型Kac-Moody李代数，正面回答了这个问题。本发现点属于学科分类1和2，对应十篇代表论文中的[1]。

（3）论文[1]和[7]的工作表明，在三角范畴内部，存在着普遍对称性。这种对称性可用Jacobi等式反映出来。对应于一类典型的三角范畴得到Kac-Moody李代数的实现，同时还存在着其它类型的三角范畴，这预示着会有重要的无限维非Kac-Moody型的李代数由此产生。本发现点属于学科分类1和2，对应十篇代表论文中的[1]和[2]。

（4）非Kac-Moody型的李代数的第一个非平凡情形就是K.Saito的椭圆型李代数。由tubular代数的导出范畴成功实现了这一李代数的整体构造。在K.Saito的本原理论的系统纲领中,本项目组完成了椭圆型仿射根系与奇点理论的范畴化模型。本发现点属于学科分类1和2，对应十篇代表论文中的[2]。

（5）建立了Hall代数的Drinfeld Double，得到了antipode公式。由此将代数表示论的工具应用于李理论和量子群的研究，完成和发现了辫子群对exceptional序列的作用导出了量子群中根向量的算法，quiver表示的BGP反射函子导出了量子群中Lusztig对称子及其基本性质。本发现点属于学科分类1和3，对应十篇代表论文中的[3]、[5]、[6]、[8]、[9]和[10]。

（6）反过来，量子群和Hall代数的可积高权表示的Weyl-Kac特征公式，可以应用于代数表示论中quiver和遗传代数表示的研究。本项目组为遗传代数表示的Kac定理提供了一个全新的观察角度和证明方法，发现了Kac猜想与Hall代数的精确联系。本发现点属于学科分类1和2，对应十篇代表论文中的[3]和[4]。

总之，肖彭邓林的创新之处是，充分利用代数表示论的最新成就和技巧对李理论的应用和渗透，利用Hall代数和三角范畴对李代数和量子群的整体实现，是李表示论方面的一个新进展。

主要完成人：

1.  肖杰

1.用导出范畴和三角范畴对李代数和量子群实现的研究；2.Double Ringel-Hall 代数的系统研究。对主要发现点中(1),(2),(3),(5),(6)做出了创造性贡献,在该项研究中的工作量占本人工作量的百分之八十.主要贡献见代表论文[1]、[3]、[4]、[6]、[7]、[8]、[9]、[10]。

2.  彭联刚

建立了2-周期三角范畴上的Ringel-Hall 李代数理论，利用导出范畴的根范畴实现了所有可对称化的Kac-Moody代数和K.Saito等人的D4,E6,E7,E8型的椭圆李代数。对主要发现点中(1),(2),(3),(4)做出了创造性贡献,在该项研究中的工作量占本人工作量的百分之八十。主要贡献见代表性论文[1]、[2]、[7]。

3.  邓邦明

对Double Ringel-Hall 代数作为量子群精确模型的系统研究；循环quiver表示与A型仿射量子群典范基的构造。对主要发现点中(5),(6)做出了创造性贡献,在该项研究中的工作量占本人工作量的百分之八十。主要贡献见代表论文[3]、[4]、[5]、[9]。

4.  林亚南

证明了D4,E6,E7,E8型的椭圆李代数可以经过Ringel-Hall代数由tubular代数的导出范畴得到整体实现。对主要发现点中(4)做出了创造性贡献,在该项研究中的工作量占本人工作量的百分之八十。主要贡献见代表性论文[2]。

10篇代表性论文： 

1.   Triangulated categories and Kac-Moody algebras / Invent.Math.

2.   Elliptic Lie algebras and tubular algebras / Advances in Mathematics

3.   On double Ringel-Hall algebras / Journal of Algebra

4.   A new approach to Kacs theorem on representations of valued quivers/ Math. Z

5.   Monomial bases for quantum affine SLn / Advances in mathematics

6.   Drinfeld double and Ringel-Green theory of Hall algebras /Journal of Algebra

7.   Root categories and simple Lie algebras / Journal of Algebra,

8.   On Ringel-Hall algebras of tame hereditary algebras/ Algebras and Representation Theory

9.   Ringel-Hall algebras and Lusztigs symmetries / Journal of Algebra

10.  Exceptional sequences in Hall algebras and quantumgroups / Compositio Math