项目名称： 调和映射与极小超曲面以及等参超曲面的几何拓扑

推荐单位： 专家推荐

项目简介： 该项目属于基础数学中的微分几何与拓扑学，对若干基本问题和著名猜想，取得了突破性的研究成果，产生了广泛的国际影响。证明了三维欧氏空间中的完备稳定极小曲面是平面, 被公认为Bernstein 定理的实质推广；对球面中的极小超曲面，证明了常数量曲率的第二间隙定理，这是关于陈省身猜想的首次突破性进展；关于球面或对称空间中等参超曲面的几何拓扑，得到了非常系统的研究结果；构造了球面之间许多新的调和映射，解决了调和映射权威Eells J.教授公开提出的若干难题。

该项目研究的问题，由陈省身、丘成桐、 Eells J 、Gromov M 等人公开提出，是微分几何中基本而又富有挑战性的问题。该项目13篇主要论文，发表在国际数学界最有影响的丛书或杂志如：Bull. Amer. Math. Soc.（2篇),（SCI 影响因子2.385), Ann. of Math. Stud. , Topology (2篇)。

该项目的13篇主要论文被SCI 期刊论文他引169 次，特别是被国际数学顶尖杂志 Ann. of Math.他引3次， J. of AMS 1次，Invent. Math. 3次， Topology 5次， JDG 11次，Ann. of Math. Stud. 3次，Duke Math. J. 4次。 这些引文的作者是Yau ST(丘成桐)，Meeks WH, Eells J, Lawson HB, Peter Li, Schoen R 等著名数学家。另外，还被Peter Li 在2002年国际数学家大会报告所引用。

该项目的论文被丘成桐在他的《 Problem Section 》中评价为"Made a breakthrough", 被M. do Carmo 在《 Math. Review 》中评价为"Important paper"，被 Thorbergsson G. 在《微分几何手册（英文）》中评价为"A very thorough study "，被Cheng 在丘成桐主编的书中称为" Peng-Terng Theorem", 被 Meeks WH 在他的《Ann. of Math. 》论文中称为极小曲面的稳定性定理。项目完成人曾应邀在丘成桐的首届国际复几何大会（北京）和Eells J 的第二届国际调和映射会议（法国）做大会特邀报告。项目完成人两人均被国际4大数学中心邀请访问：美国Princeton, MSRI Berkeley, 法国IHES, 德国马普数学所。

主要发现点：

本项目对微分几何的若干基本问题和著名猜想，获得了突破性进展，得到了国际几何学界的公认和广泛引用。13篇主要论文，发表在《 Bull. Amer. Math. Soc. 》（2篇）,《 Ann. of Math. Stud. 》,《 Topology 》(2篇),《 Math. Ann. 》等最有影响的数学刊物。被SCI 杂志他引169 次，其中，被《Ann. of Math.》他引3次，《 J. of AMS 》1次，《Invent. Math.》3次，《 Topology 》5次，《 JDG 》11次，《Ann. of Math. Stud. 》3次，《Duke J. Math.》4次。这些引文的作者分别是Yau ST，Meeks WH, Eells J., Lawson HB, Peter Li, Schoen R. 等著名数学家。另外，还被Peter Li 在2002年国际数学家大会报告所引用。

（一）核心发现点：

(1) 极小曲面。代表性论文[1]证明了三维欧氏空间中完备稳定极小曲面一定是平面。此结果被丘成桐在《几何问题集》中称为Bernstein定理的推广，已成为几何学界著名的定理，并被《Ann. of Math.》等 SCI 杂志78次他引，被 Meeks WH 在他的《Ann. of Math. 》论文中称为极小曲面的稳定性定理；被 Peter Li 在2002国际数学家大会的报告引用。

(2) 球面中极小超曲面。Simon J, 陈省身，do Carmo, Kobayashi S, Lawson HB ,丘成桐等人对球面中第二基本型长度平方为常数S 的紧致极小超曲面有初步进展，他们公开猜想S必取离散值并问下一个S取何值。代表性论文[2]、[3]取得了突破性进展，被丘成桐在《几何问题集》中称为“ Made a breakthrough", 被M. do Carmo 在《 Math. Review 》中评为"Important paper"，"delicate"。被Cheng在丘成桐主编的书中称为 "Peng-Terng Theorem"并多次提到。

(3) 调和映射。主要论文[5 ]、[6 ]、[ 7]、[9 ]获得了球面之间许多新的调和映射，有两篇发表在拓扑学界权威杂志《Topology》；解决了 Eells J 公开提出的若干难题，被田刚称为“a number of very significant results " 。分别应邀在丘成桐主持的首届国际复几何大会和Eells J. 主持的国际调和映射会议作一小时大会演讲。

（二）其他重要发现点

(4) 等参超曲面。 我们研究了主曲率重数的取值范围。代表性论文[4 ]、[ 8]分别被 Thorbergsson G. 在《微分几何手册（英文）》中评价为"A very thorough study "，被Cecil T.在《Ann. of Math.》上的论文引用。

(5) 黎曼流形的等距浸入。代表性论文[ 10]综合几何与拓扑，得到许多结果，例如构造了Klein 瓶到三维球面的双曲浸入，从而解决了Gromov M 在专著《Partial Diff Relations》p.276 的一个公开难题。

主要完成人： 唐梓洲

1. 构造出新的球面之间的调和映射使之拓扑度非平凡（使用正交乘法和法标架协边理论）；

2. 球面中或对称空间中等参超曲面的几何拓扑的研究（使用纤维丛理论和群作用理论）；

3. 球面中多项式调和映射的构造（使用Cartan 的等参多项式理论）。

4. 等距浸入的存在性研究与 Gromov 问题的解决。

彭家贵

1. 关于极小曲面的研究, 证明了3 维欧氏空间中稳定完备极小曲面是平面。

2. 关于球面中数量曲率为常数S的极小超曲面，S的取值间隙的研究和发现。

3. 极小超曲面与等参超曲面内在联系的揭示。

4. 等参梯度映射拓扑度的计算，对球面间调和映射的应用。