项目名称： 四维流形拓扑与正曲率黎曼流形的拓扑

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项目简介： 本项目研究了四维流形的拓扑与正曲率黎曼流形的拓扑，这是拓扑学和几何学中最重要的研究课题之一，主要完成人方复全在本项目中主要取得了以下五方面的代表性成果：

1、完全解决了四维流形在七维欧氏空间中的嵌入问题：1944年，美国科学院院士Whitney证明: "任何维数n>4的可定向闭流形可以嵌入到(2n-1) 维欧氏空间"。1963年，Haefliger和Hirsch推广了Whitney定理，证明了"若n>4, 则一个n维光滑的闭流形M可以嵌入到(2n-1)维欧氏空间中的充要条件是M的第(n-1)个法Stiefel-Whitney类为零"。一个长期以来悬而未决的问题是：Whitney定理和Haefliger-Hirsch定理在四维是否成立？该问题曾先后被美国科学院院士Kirby、嵌入理论国际领袖人物Haefliger作为公开问题提出。该问题最终由方复全完全肯定回答，论文发表在拓扑学最好的杂志《Topology》（1994、2002）。

2、证明了"2-连通正夹曲率流形" 的有限性定理，同时部分解决了Klingenberg-Sakai猜想和丘成桐猜想（与戎小春合作）。论文发表在《Invent.Math.》。该工作被法国科学院院士Gromov在其专著中引用、被法国科学院通讯院士Berger在其综述报告"二十世纪后半叶的黎曼几何"中引用；也是合作者在2002年"国际数学家大会"上45分钟报告的主要部分之一。

3、证明了"Seiberg-Witten不变量的模p消灭定理"， 在国际上首次将Seiberg-Witten不变量与群作用联系起来。该成果被Furuta在2002年国际数学家大会45分钟报告中引用，并引发了他人多项后续工作。

4、得到了一批有不可数多个不同光滑结构的四维流形，相关研究成果被Gompf- Stipsicz写入美国数学会研究生教材中。

5、证明了"Libgober-Wood猜想"，实质性地启发了他人后续工作。

主要发现点： 1、引入Surgery理论与配边理论方法，完全解决了"四维流形到七维欧氏空间中的嵌入问题"，填补了Whiteney嵌入理论（于1944年奠定）在四维情形的空白, 回答了这一有五十多年历史的遗留问题。该问题曾被美国科学院院士Kirby、嵌入理论国际领袖人物Haefliger作为公开问题提出（所属学科分类：几何拓扑学；代表论文[1][2]）。

2、（与戎小春合作) 证明了"对每个正数a，仅有有限多个2-连通的、夹曲率（即曲率K属于区间（a，1））的n维黎曼流形的拓扑同胚型"；并且"其单射半径有一致的正下界"。对于2-连通的流形同时解决了Klingenberg-Sakai猜想和丘成桐的关于夹曲率黎曼流形的单射半径猜想（所属学科分类：微分几何学、几何拓扑学；代表论文[3][4]）。

3、在国际上首次将Seiberg-Witten不变量与群作用联系起来，并给出Seiberg-Witten不变量的一个拓扑K-理论的解释，由此证明了"Seiberg-Witten不变量的模p消灭定理"，成为他人工作的基础（所属学科分类：几何拓扑学；代表论文[7]）。

4、应用Sullivan示性簇理论，部分解决了任意维数完全交的拓扑分类问题，特别地，证明了Libgober-Wood猜想，也为Astey等人的后续工作奠定了基础。另一方面，与人合作，将代数拓扑中深刻的Adams谱序列理论应用于配边群的计算，发展了经典的Surgery理论，在国际上首次给出"复维数不超过4的完全交的拓扑分类"。这为德国数学家Bruckmann有关完全交模空间的研究奠定了基础，（所属学科分类：几何拓扑学；代表论文[9][10]）。

5、法国科学院院士、美国科学院院士Gromov(1981)证明："截面曲率>a，直径 6、将四维流形的光滑结构问题与三维流形的嵌入问题联系起来，证明了一大类非紧四维流形上存在有不可数多个光滑结构（所属学科分类：几何拓扑学；代表论文[8]）。

主要完成人： 方复全

本人投入本项目的工作量占本人工作量的百分之九十以上。主要发现点1、3、6系本人独立完成的工作（代表论文[1][2][7][8][9]），发现点2、4、5系本人与人合作的成果（代表论文[3-6][10），本人在其中的贡献是主要和本质的。