项目名称： 约束力学系统的对称性与几何动力学

推荐单位： 湖南省

项目简介： 本项目属于力学学科中的基础力学和一般力学的基础理论研究。约束力学系统系指完整约束系统，非完整约束系统和Birkhoff系统等。对称性主要指Noether对称性，Lie对称性，形式不变性等。几何动力学系指用近代微分几何工具，如流形，纤维丛，联络等来描述力学系统动力学。 约束力学系统的对称性与几何动力学属于分析力学的近代发展。

本项目的贡献主要有：1）完整保守系统的Lie对称性首次推广到完整非保守系统，在施加一些限制后推广到非完整系统，也推广到更一般的Birkhoff系统，并导出了守恒量；2）首次提出了一类新的对称性－－形式不变性，它不同于Noether对称性，也不同于Lie对称性，它是指动力学函数（Lagrange函数，Hamilton函数，广义力，约束方程中的函数等）在经历无限小变换后仍然满足原来动力学方程的一种对称性。对各类约束力学系统给出形式不变性的定义和判据；3）首次研究了一般动力学系统的绝热不变量；4）运用现代整体微分几何方法，研究了约束力学系统的若干有争议的基本问题和基本原理，特别是Pfaff约束系统的可积性问题、非完整变分法中Chetaev条件、 d-δ交换关系问题；5）给出几类动力学系统的Poincaré-Cartan积分不变量，非完整系统的Birkhoff动力学与赝Poisson结构，以及非完整系统几何动力学的Lagrange理论。

本项目十多年来在国家自然科学基金和省部委项目的长期支持下，较系统全面地研究了约束力学系统的对称性理论和几何理论。分析力学作为整个力学学科的基础，本项目的成果具有重要科学价值。本项目提交的十篇代表论著被SCI他引323 次。其他十一篇主要论著被SCI他引294 次。本项目提交的在Appl. Mech. Rev.上发表的长文被俄罗斯、美国的同行专家引用，并收在2007年《力学学科发展研究报告》中。

本项目成果获2007年教育部自然科学奖一等奖。

主要发现点： 1. 形式不变性的发现与提出（分析力学）

本项目于2000年对Lagrange系统提出"形式不变性"的定义和判据，并通过Noether对称性导出了守恒量。2002年进一步研究了非完整系统的形式不变性，它与Lie对称性的关系，并导出了守恒量。形式不变性是指动力学函数（如Lagrange函数，Hamilton函数，广义力，约束方程中的函数等）在经历时间和坐标的无限小变换后仍然满足原来动力学方程的一种不变性。这种不变性是一种新的对称性，它不同于Noether对称性，也不同于Lie对称性。形式不变性从力学角度比Noether对称性和Lie对称性更易理解。在Chin. Phys.和物理学报上有48篇文章引用上述结果，有的作者称形式不变性为Mei对称性。

2. Lie对称性的推广 （分析力学）

Lutzky于20世纪70年代末将微分方程在时间和坐标的无限小变换下不变的Lie对称性首先应用于完整保守系统。本项目主要是将Lie对称性理论推广并应用于各类约束力学系统并求得守恒量。1994年将Lie对称性理论推广并应用于完整非保守系统。其后将Lie对称性理论推广并应用于各类约束力学系统，包括准坐标下一般完整系统，有多余坐标的完整系统，变质量完整系统，事件空间，相对运动动力学，非完整系统，Birkhoff系统等，同时也导出了相应的守恒量。发现对有多余坐标系统和非完整系统需要增加一些限制才行。上述结果被国内研究者多次引用并继续发展。

3. 几何动力学的推广（分析力学）

几何动力学是分析动力学的一个近代发展方向。本项目主要是将几何动力学推广并应用于非完整系统和Birkhoff系统等。证明了由Pfaff约束所确定的纤维化约束子流形上存在Ehressmann联络与非完整力学中的 d-δ交换关系密切相关，并证明了Pfaff系统完全可积性等价于经典变分学对条件变分的三点要求，借助于射丛的直和分解实现了Chetaev条件的几何表示；建立了构造非保守、非完整动力学系统的Poincaré-Cartan积分不变量的辛几何方法；在Hamilton力学Birkhoff推广的框架内构造了约束力学系统的万有辛结构；将非完整系统的Chetaev模型和Vacco模型的动力学方程分别表为Riemann-Cartan流形上的自平行线和测地线方程，将其差异归于非完整约束所确定的流形的挠率；对非完整几何动力学的Lagrange理论给出了综述并介绍了作者的成果。文献[10]被收录于2005年"国家学科发展蓝皮书"中。

主要完成人： 梅凤翔

第一发现点与第二发现点。投入该项研究的工作量占本人工作量的80％。

1. 提出并发现约束力学系统的一类新的对称性－形式不变性。首先，对Lagrange系统，后来对其他约束力学系统提出形式不变性的定义和判据，研究它与Noether对称性，与Lie对称性之间的关系并导出了守恒量。

2. 将Lie对称性理论推广并应用于准坐标下一般完整系统，有多余坐标完整系统，事件空间，相对运动动力学，非完整系统，Birkhoff系统等。给出各类系统Lie对称性的定义，判据并导出了守恒量。

赵跃宇

第二发现点。投入该项研究的工作量占本人工作量的55％。

1993年在<<力学进展>>上发表综述<<力学系统的对称性与不变量>>，其后研究了完整保守系统的Lie对称性理论,得到了一般动力学系统的绝热不变量。在专著<<力学系统的对称性与不变量>>中全面系统地论述了力学系统的对称性与守恒量。这些工作在国内有关对称性理论研究上起到了带头作用。

郭永新

第三发现点。投入该项研究的工作量占本人工作量的55％。

1. 利用几何动力学方法，对经典非完整力学中的有争议的微分－变分对易关系、关于变分的Chetaev条件等基本问题和经验性论断，进行了全面系统的论证。2.发现并证明了寻找动力学系统积分不变量的最有效方法－构造辛结构方法，从而改变了国内外传统观点。3. 构造了约束系统的万有辛结构，从而实现了非完整系统普适的Birkhoff表示，此种方法为非完整系统的对称性约化提供了新的途径。4.找到了比较非完整约束系统的Chetaev模型和Vacco模型的共同几何框架： Riemann-Cartan流形，证明了两种模型分别刻画了该流形的自平行线和测地线，将二者差异归于非完整约束所确定的约束流形的挠率。