项目简介：  

本项目属数学中的计算数学.有限元法是科学与工程计算最重要方法之一.但解高维问题困难很大. 有限元在某些点精度特别高,称超收敛性,有重要的意义. 有限元权威Babuska院士1993年纪念有限元50年国际会议总结有限元研究10大进展,第2项为超收敛和重构. 国外1973年研究一维超收敛. 与外隔绝环境下本项目1977年计算张家界拱坝首次发现3维有限元超收敛性,1978年首次证明三角形线元和矩形1,2次元梯度的超收敛(后一结果独立于Zlamal--西方有限元理论奠基人之一),是国际开拓工作. 坚持研究30年, 揭示超收敛普遍存在,为大规模计算提供了一种有效新模式:其计算量少,与维数无关. 主要创新点: 1. 首次发现与证明多维有限元的超收敛性. 原创一种研究方法-单元正交分析法.提出三种单元分析技术:即正交展开,合并消除和正交性修正; 2. 证明超收敛是一种深刻特性,不仅被广泛用于高精度计算,而且也成为提出新算法和其它理论创新的基础,本项目对非线性方程多解计算提出搜索延拓法及用超收敛方法证明Hamilton系统有限元的辛性质; 3. 对各类方程和单元,首次发现与证明了有限元4类基本超收敛结构. 对二阶椭圆算子有:Gauss-Lobatto点和对称点(部分地).对一阶方程有Lobatto点(对连续元)和Radau点(对间断元); 4.提出了4大法则,可解决一般区域,奇异解,时-空方程和非线性等问题.因此在广阔框架下创建了唯一完整的有限元超收敛理论方法体系. 本研究得到国内外专家高度评价.1996年芬兰第1次,2000年美国第2次有限元超收敛国际会议及Babuska院士新著,都公认当今国际超收敛研究有三学派:中国,美国Ithaca (Wahlbin等)和Texas(Babuska等).本项目作了最主要贡献. 2004年在长沙组织第3次超收敛国际会议,进一步增强了国际影响. 发表主要论文120多篇(早期是中文,只MR刊英文摘要),出版中英文专著6本.95年后被SCI收录45篇, IE收录36篇,ISTP收录5篇, SCI论文引证242次; 专著"有限元高精度理论"单引超过100次,SCI36次.另Krizek报告和Wahlbin专著引用60次.

主要发现点：

1. 首次发现和证明多维有限元的超收敛性. 国外73年研究一维超收敛.本项目77年计算湖南张家界拱坝时首次发现多维有限元超收敛现象. 78年首次证明三角形1次元平均梯度在对称点和矩形1,2次元梯度在Gauss点的超收敛(后一结果独立于捷克M.Zlamal--西方有限元理奠基人之一). 原创一种研究超收敛的方法-单元正交分析法.其新思想是发现产生超收敛的一种重要机理,例如当网格几乎均匀时,有限元在单元上近似A-正交.因此研究可从一个单元开始. 为此提出了三种单元分析技术:即正交展开,合并消除和正交性修正. 第三种新技术为1997年后作出新推进起了决定性作用. 本项目证明有限元超收敛是一种内在的深刻特性, 它不仅已广泛用于科学与工程计算,而且它也成为提出许多新算法和其它理论创新的基础.本项目首次对非线性方程多解计算提出搜索延拓法及用超收敛方法证明Hamilton系统有限元的辛性质,作出两项创新;因此本项研究从多方面促进了计算学科的发展.(此项属偏微分方程数值解,有关论著为[书1,书5,文6,文8,书10]);

2. 对各类偏微分方程和单元,首次发现与证明了有限元的4类基本超收敛结构.它们也是目前已知的主要结构. 80年代已发现对二阶椭圆算子有:Gauss-Lobatto点和对称点(部分地).97年后发现一阶方程组有Lobatto点(对连续元)和Radau点(对间断元),它们对时间离散也有效.因此又发现双曲,抛物问题的有限元全离散有时-空双重超收敛性. 本项目全面揭示超收敛是有限元的普遍特性,提出了4大法则:为解决一般区域,奇异解, 时空双重超收敛和非线性等广泛问题建立了依据,多数结果直到边界有效.本项目在广阔框架下创建了唯一完整的有限元超收敛理论方法体系. 因此除加密网格和增高次数外,使用超收敛性为解决大规模计算提供了一种高效新模式,其计算量少,与维数无关.本项目曾成功用于面板坝计算. (此项属偏微分方程数值解,有关论著为[书2,书3,书4,文8]);

主要完成人：

1.  陈传淼

为创建有限元超收敛理论方法体系,使中国学派为国际公认,作出了最主要贡献:

1. 首次发现证明多维有限元的超收敛性(属发现点1);

2. 原创一种研究方法和三种分析技巧(属发现点1);

3. 首次发现证明4类超收敛结构(对称点部分地)(属发现点2);

4. 提出超收敛4法则(属发现点2);

5. 首次证明H-系统有限元的辛性质(属发现点1).

本人研究本项目的工作量超过本人工作量的百分之八十.在10篇主要论著中有8篇单独,两篇合作完成.

2.  黄云清

为本体系的发展,完善作了重要贡献:

1. 首次证明在一般区域的PC,6PC剖分及对奇异解在等级网格上的超收敛(属发现点2);

2. 首次用EOA证明对非正规三角形网格上线元的超收敛(属发现点2);;

3. 对积分微分方程提出累加格式及用能量嵌入简化最大模估计(属发现点2);.

4. 负责计算面板堆石坝(属发现点2);.

本人研究本项目的工作量超过本人工作量的百分之五十.合作完成10篇主要论著中的[专著2].

3.  谢资清

为本项目非线性偏微分方程多解计算的创新作了重要贡献:

1. 首次详细研究奇与非奇非线性情形多解的计算,结构和Morse指标,为提出搜索延拓法打下坚实基础(属发现点1);;

2. 首次证明插值系数有限元的收敛性和超收敛性,并用于搜索延拓法(属发现点1);.

本人研究本项目的工作量占本人工作量的百分之六十.合作完成10篇主要论著中的[专著10].

10篇代表性论文：  1.   有限元方法及其提高精度的分析,湖南科技出版社

2.   有限元高精度理论,湖南科技出版社

3.   有限元超收敛构造理论,湖南科技出版社

4.   FEMs for Integrodifferential Equations. Series on Appl. Math. V.9. Singapore: World Scientific

5.   三角形线元的应力佳点.高校计算数学学报

6.   有限元解及其导数的超收敛性.高校计算数学学报

7.   W^{1,∞}-interior estimates for FEMs on regular meshes. J.Math.Comp.

8.   Superconergence for triangular FEMs. Science in China.

9.   The lumped mass FEM for a parabolic problem. J. Austral. Math. Soc. Ser. B. 26

10.  非线性微分方程多解计算的搜索延拓法.科学出版社